그렇다면 남은 가능성은 단 두 가지였다. 종래의 수론에는 본질적인 결함이 있고, 자연수에 관한 플라톤적인 이데아는 궁극적으로 모순일 가능성. 또는 앨리슨이 옳았고, 몇십억 년 전에 '계산적으로 멀리 떨어진' 지역 일부를 일종의 대체 수론이 지배하게 되었을 가능성이다. (전자책 기준 66%)
그러나 이런 문제는 시작에 불과했다. 이론상 우리가 찾아낸 것은 두 개의 양립 불가능한 수학 체계들 사이의 경계 일부였으며, 이 두 체계는 각자의 영역에서는 물리적으로 참이었다. 일련의 연산들은 <결점>의 어느 한편의 영역 내부-그것이 우리가 아는 기존의 수론이 적용되는 <이쪽 near side〉이든, 아니면 대체 수론이 지배하는 <저쪽 far side>이든 간에-에 온전히 머물러 있는 한은 모순에서 자유로울 수 있다. 그러나 연산 과정에서 이 경계선을 넘어간다면 부조리가 발생하며, 그 결과 S에서 비S가 도출되는 상황이 발생하는 것이다. 따라서 방대한 수의 일련의 추론들-그중 어떤 것들은 자기 모순적이고, 어떤 것들은 자기 모순적이지 않다-을 검토한다면, 모든 명제를 빠짐없이 <이쪽>이나 <저쪽>으로 할당함으로써 문제의 <결점>을 에워싼 영역을 정확하게 매핑하는 것이 가능해진다.(전자책 기준 66%)